Derivadas

la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

Límites

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

sucesiones
Aritméticas: soon aquellas en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

Geométrica : sestá constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión

notemos la sucesión : 5, 15 , 45, 135, 405

Conclusion: cuando nos dan la directriz ,por medio de la fórmula correspondiente segun la direccion de la parabola, hallamos la ecuacion, precedemos a graficar, y por medio del valor de la directriz calculamos el vértice y el foco

Parábola

se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan en un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz

La distancia entre la directriz y el foco se le llama parametro de la parábola y es denotada por P

el Vértice es el máximo o mínimo, punto donde la parábola corta su eje

el foco es un punto que esta ubicado internamente en la parabola este es ubicado en su eje de siimetría con una distancia del vértice que es determinado por P

la directriz es aquella línea que determina las condiciones de generación de otra línea, sepuerficie o volumen

Reflexión: todos los anteriores aspectos son los que permiten hallar la forma de un parábola y asi ella puede cumplir las funciones que diariamente realiza en nuestras vidas como en las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.









conclusiones: despues de hallar el valor de P procedemos a graficar dandole valores a y2 para encontrar valores de x, depues de estar graficada la parábola dividimos por 2 el valor de p y asi hallamos la directriz, el vértice y el foco.

Taller de remplazo de la clase del 5 de marzo

ejercicio 1


ejercicio 2


ejercicio 3



ejercicio 4


ejercicio 5


ejercicio 6



ejercicio 7


ejercicio 8


ejercicio 9

EJERCICIOS DE VALOR ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTO

¿QUE ES EL VALOR ABSOLUTO?

Es el que representa la distancia de un punto al origen. Osea que por ejemplo la distancia del 3 al origen es 3 unidades igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3

¿CUALES PROPIEDADES TIENE EL VALOR ABSOLUTO?

desigualdades cuadráTicas

Una desigualdad en a variable X se llama cuadratica cuando la podemos escribir en la forma: ax2 + bx + c donde a, b y c son constantescon a diferente a 0

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 >0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x >0 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 >0 a = -6, b = 0, c = 10

discriminante

La expresión (b2 - 4ac) en una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0. Se puede utilizar para determinar las características de la solución.

x>0 ==> dos soluciones
x=0 ==> una solución
X<0 ==> no tiene solución

Ejercicios DESIGUALDADES LINEALES

desigualdades Lineales

¿Que es una desigualdad o inecuación?

En matemáticas una desigualdad es una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones,es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.
En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos


Pasos par resolver inecuaciones
*identificar la variable
*anañizar si la desigualdad es mayor que, mayor o igual que, menor que, menor o igual que
*separar los términos
*encontrar el valor de la incognita
*comprobar
*graficar
*sacar el intervalo

Ejemplo:

FACTORIZACIÓN

binomio Cuadtrado perfecto

RADICACIÓN

Radicación, es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).

Así mismo la multiplicación 2 x 2 x 2 donde el resultado es 8, se puede decir también que 2 es la raíz de 8, con la diferencia que en esta ocación el número 2 se ha elevado al cubo (³) y por lo tanto se puede deducir que las radicación y la potenciación estan muy relacionadas.


El principio en que se basa la extracción de la raíz cuadrada de cantidades de varias cifras, consiste en descomponer el número dado en grupos de 2 cifras, comenzando por la derecha. Sea por ejemplo, la cantidad 380526, cuya raíz cuadrada deseamos extraer. Sus cifras se separan del modo siguiente:

raiz cuadrada de 38 . 05 . 26

Ahora bien, si la cantidad dada es de un número impar, el primer grupo (de la izquierda) está formado por una sola cifra.

raiz cuadrada de 5 . 38 . 05 . 26




Cuando se trata de números decimales, la separación en grupos de dos cifras se hace a partir de de la coma hacia la derecha y hacia la izquierda de la siguiente forma:

raiz cuadrada de 56 . 38 , 05 . 26 . 32


Y si el último grupo de la derecha queda de una sola cifra, se le agrega un 0 (cero).

Una recomendación muy útil para la rápida extración de raíces menores de 1000, es memorizar las siguientes 2 tablas que corresponden a los cuadrados y cubos de los primeros 10 números

Ejemplos.
podemos entender claramente lo siguiente:

raiz cuadrada de 25 = 5 porque 5² = 25
raiz cubica de 27 = 3 porque 3³ = 27

Potenciación

La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
7 · 7 · 7 · 7 = 74

*Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 7.

*Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

Reglas
1. Un número elevado a 0 es igual a 1.
2.Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.
3.Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2a la 6 = 64
(−2)a la 6 = 64
2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

2 a la 3 = 8
(−2)a la 3 = −8

Fraccionarios

Una fraccion es un número escrito en la forma a/b , de tal modo que b no sea igual a cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional. El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo

Ejemplo: La fracción 1/3 ; el numerador es el 1; y el denominador es el 3.

-Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador.
-Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador.

SUMA

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

Fracciones heterogeneas

a/b + c/d = (ad +bc)/bd

(se multiplica cruzado y los productos de suman)
(se multiplican los denominadores)


*Veamos un ejemplo:

El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?


1/4 + 1/3 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7/12

12 12



Fracciones homogéneas


Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

1 + 3 = 4 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las
fracciones homogéneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual

Resta
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.


Multiplicacion

Es muy sencillo. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Ejemplo:

3 7 3x7 21
---- x ---- =
2 4 2x4 8

Division

Es muy sencillo. Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

4 3 4x9 36
---- : ---- =
5 9 5x3 15

Miguel de Guzman

Los problemas que desarollan las competencias matemáticas no son los típicos problemas de aplicación de fórmulas que nos sirven para aprobar, incluso para sobresalir en las asignaturas de matemáticas de ESO y Bachillerato. Son problemas en los que importa más el razonamiento que el mismo resultado, igual que para un caminante importa mas el camino que la llegada.
¿Que características tienen estos problemas?:

1.- Requieren atención para entender el enunciado

2.- Despiertan cierto interés ( unos más que otros y en unas personas más que en otras). Dicho interés no está en la utilidad que pueda tener el problema, sino en el reto que nos ofrece resolverlo.

3.- Requieren deliberación, toma de decisiones, manipulación, busqueda de estrategias a seguir y concentración durante su resolución.

4.- Suelen tener algún contenido relacionado con alguna parte de las Matemáticas

5.- No se resuelven por algoritmos o procedimientos mecánicos ( como aplicar simplemente unas fórmulas).

6.- El proceso de resolución puede ser largo y producir cierta angustia, ansiedad o sensción de fracaso , sobre todo cuando se entiende que el éxito está solo si se llega a la solución. En realidad el éxito empieza cuando se entiende el enunciado y en el mismo proceso de resolución, aunque no se llegue a la solución

7.- Llegar a alguna solución produce una satisfacción que es proporcional al esfuerzo empleado.

8.-También se aprecia satisfacción en generalizar el problema y/o inventar otros similares, hacer conjeturas o simples preguntas.

En el libro “Para pensar mejor”, Miguel de Guzmán nos ofrece un método para guiarnos en el razonamiento productivo.

El razonamiento es un proceso interno y dificilmente compartible. A pesar de que es una actividad universal no sabemos a ciencia cierta si todos pensamos del mismo modo, y mejor, cuales son las estrategias que dan lugar a mejores resultados.

Las respuesta es inmediata: hay que saber como piensan las personas que mejor resuelven los problemas. Por eso el libro recomendado anteriormente es tan importante: porque Miguel de Guzman nos abre su mente y nos explica paso a paso su procesod educativo . Además nos propone, para ser corregidos, que hagamos exactamente lo mismo. Esto es : seguir un protocolo que consiste en ir anotando en un margen de la hoja donde hacemos los cálculos y los razonamientos, las sensaciones. Esto debe hacerse a intervalos regulares de tiempo. Así:

A los 3 minutos de examinar el enunciado podemos escribir las primeras impresiones:

Pensamos que

-el problema será fácil o difícil.

-entretenido o no.

-ruerequirá muchos cáculos o no.

- que utilizaremos fórmulas conocidas o habrá que buscarlas.

-conocemos problemas parecidos o no.-tendrá varias soluciones o es posible queno tenga solución.

A los 10 minutos escribimos sobre la primera estrategia ensayada :
- Se usa trigonometría..

-Se descompone en problemas más sencillos.

- Hay un caso más simple que es fácil de resolver.

- Hay que utilizar coordenadas y ecuaciones….
Durante todo el periodo de resolución cada 5 ó 10 minutos se deben escribir las impresiones, los caminos seguidos, incluidos con los que han llevado a fracasos y por qué.
En el caso de llegar a alguna solución anotar:
- El grado de satisfacción.

-La dificultad

- Las herramientas usadas: teoremás y resultados previos, programas de ordenador, gráficas, esquemas…

- Desde la solución ¿se ve algún otro método mas sencillo y elegante para alcanzarla?-Preguntas, conjeturas y generalizaciones.
El propósito de este método es facilitar la corrección del profesor, aunque ya de por sí y antes de que llegue a él, nos sirve para ordenar nuestro pensamiento y de contrastarlo con el de nuestros compañeros.

CLONCLUSIÓN: Para hallar el resultado de un problema matamático es necesario analizar bien el problema y despertar interes por solucionarlo ya que de esta manera despertará entuciasmo para encontrar el resultado debido a que se nos convertirá en un reto.Para logar qe esto suceda es necesario buscar estrategias de solución y manipular al máximo el problema como Ultimo debemos siempre conprobar que lo hecho esta bien realizado y si no se llega al producto del problema no darse por vencido y continuar buscando alternativas.

DIVISIBILIDAD

-Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
-Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
-Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
-Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
-Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
-Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.
-Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

ejemplos:
22 ---> es divisible por 2 ya que termina en par
381---> es divisible por 3 ya que la suma de sus digitos es multiplo de tres
400---> es divisible por 4 ya que sus dos ultimas cifras teminan en 0
555---> es divisible por 5 ya que su ultima cifra finaliza en cinco
336---> es divisible por 6 ya que es dibisible por dos y tres